複利の計算式：お金が増える数学

複利の計算式（実際の数字で）

複利の計算式は A = P(1 + r/n)^(nt) です。Aは最終金額、Pは元本（初期投資額）、rは年利率（小数）、nは年間の複利回数、tは年数です。これが計算式のすべてです。すべての預金口座、投資リターン予測、ローン返済計算がこの式またはそのバリエーションを使っています。

具体例を計算してみましょう。¥100万を年利5%（つみたてNISAでのインデックスファンドの想定リターン）で毎月複利、20年間運用します。P = 1,000,000、r = 0.05、n = 12、t = 20。A = 1,000,000 × (1 + 0.05/12)^(12×20) = 1,000,000 × (1.004167)^240 = 1,000,000 × 2.7126 = ¥2,712,640。1円も追加せずにお金が2.7倍になりました。これが複利です。

単利（複利なし）と比較しましょう：A = P(1 + rt) = 1,000,000 × (1 + 0.05×20) = 1,000,000 × 2.0 = ¥2,000,000。複利は単利より¥712,640多く稼ぎました——36%の上乗せです。差は時間とともに指数的に広がります。30年では：複利で¥4,467,744 vs 単利の¥2,500,000。40年では：複利で¥7,358,348 vs 単利の¥3,000,000。時間が乗数です。

複利の頻度が重要な理由（そして重要でない場合）

複利の頻度（計算式の"n"）は、稼いだ利息がそれ自身の利息を稼ぎ始める頻度を決めます。年1回複利（n=1）：利息は年1回計算。月次（n=12）：毎月計算。日次（n=365）：毎日。連続（n→∞）：数学的な極限で、A = Pe^(rt)の式を使います。

実際の差はほとんどの人が思うより小さいです。¥100万を年利5%で20年：年1回 = ¥2,653,298、月次 = ¥2,712,640、日次 = ¥2,718,095、連続 = ¥2,718,282。年1回から月次への差は意味があります（¥59,342）。月次から日次はわずか（¥5,455）。日次から連続はほぼ無視できます（¥187）。ほとんどの預金口座は日次複利で、実質的に連続と同じです。

頻度がより重要な場面：クレジットカードの借金。年利18%が日次複利だと、残高に対して毎日0.0493%が課されます。¥50万の残高を1年間支払いなしで放置すると、¥598,580になります（単利なら¥590,000）。日次複利で¥8,580の追加利息です。カード会社が日次複利を使うのは、あなたの支払額を最大化するためです。interest-calculatorツールで異なる複利頻度を並べて比較できます。

APR vs APY：APR（年率）は複利を含まない表示利率です。APY（年間利回り）は複利の効果を含みます。「年利0.1% APY」と宣伝する預金口座の日次複利でのAPRは0.0999%です。銀行は預金にはAPYを宣伝し（高く見える）、ローンにはAPRを宣伝します（低く見える）。比較するときは必ずAPY同士またはAPR同士で——混ぜないでください。

72の法則（暗算のコツ）

72の法則は、お金が2倍になるまでの期間を推定します：72を年利率で割ります。年利7%なら、72/7 ≈ 10.3年で2倍。10%なら7.2年で2倍。3%（一般的な定期預金）なら24年で2倍。この近似は4%から12%の利率で1%以内の精度です。

逆方向にも使えます。5年でお金を2倍にしたいなら、72/5 = 14.4%の年間リターンが必要です。2年で2倍にすると約束する人がいたら、72/2 = 36%の年間リターンが必要——これは即座に詐欺センサーを発動させるべきです。日経平均の1970年以降の最高年間リターンでも、持続的な36%リターンは正当な投資には存在しません。

3倍には115の法則（115を利率で割る）を使います。4倍には144（2倍を2回なので72の法則×2）。年利7%で：2倍に10.3年、3倍に16.4年、4倍に20.6年。これらの暗算テクニックは電卓なしで投資の主張を評価するのに役立ちます。ファイナンシャルアドバイザーが「10年で5倍になります」と言ったら、年利約17.5%が必要です——可能ですが攻めた想定です。

定期積立（本当の資産形成）

複利の計算式は一括投資を前提としています。現実には、ほとんどの人は定期的に投資します——毎月¥33,333をつみたてNISAに、毎月¥10,000をiDeCoに。定期積立の計算式は：A = P(1+r/n)^(nt) + PMT × [((1+r/n)^(nt) - 1) / (r/n)]。第1項は初期投資の成長。第2項はすべての定期積立の累積価値です。

例：¥0から始めて毎月¥50,000を30年間、年利5%（月次複利）で積み立てます。PMT = 50,000、r = 0.05、n = 12、t = 30。積立項：50,000 × [((1.004167)^360 - 1) / 0.004167] = 50,000 × [(4.4677 - 1) / 0.004167] = 50,000 × 832.26 = ¥41,613,000。総投資額は¥18,000,000（50,000 × 360ヶ月）。複利が¥23,613,000を稼ぎました——投資額の1.3倍以上です。

早く始めることが圧倒的に重要です。Aさんは25歳から35歳まで毎月¥50,000を投資（10年間、総額¥600万）してその後やめます。Bさんは35歳から65歳まで毎月¥50,000を投資（30年間、総額¥1,800万）。年利5%で、Aさんは65歳時点で約¥2,580万。Bさんは約¥4,161万。Bさんの方が多いですが、Aさんは3分の1の投資額で6割以上の成果を得ています。10年の先行スタートが複利に重い仕事をさせたのです。

loan-calculatorツールで異なる積立シナリオをモデル化できます。最も重要な入力（順番に）：市場にいる時間、積立額、リターン率。1%高いリターンは30年で最終残高を約25%増やします。5年早く始めると約40%増えます。積立額を¥10,000増やすと固定額が加算されます。時間とリターン率は複利で効く；積立額は線形に加算されます。

複利が敵になるとき（借金）

投資を成長させるのと同じ数学が、借り手を苦しめます。¥50万のクレジットカード残高を年利18%（日次複利）で、最低支払額（通常は残高の2%または¥5,000の大きい方）だけ支払い続けると：完済に15年以上かかり、利息だけで¥40万以上かかります。¥50万の買い物に¥90万以上支払うことになります。複利の計算式は同じように機能します——ただし銀行のために働くのです。

住宅ローン：¥3,500万を年利1.5%（現在のフラット35の水準）で35年返済：月々の支払い約¥107,164、総支払額約¥4,501万、利息約¥1,001万。もし変動金利が将来3%に上がったら：月々の支払いが大幅に増え、総利息も膨らみます。複利は早く返す人に報い、遅く返す人を罰します。

繰上返済戦略：すべての借金に最低支払額を払い、余剰資金は最も金利の高い借金に集中する（利息の雪崩方式）。これが総利息を最小化します。残高の小さい順に返す方式（雪だるま方式）は心理的に満足感がありますが、数学的には劣ります。¥500万の混合借金で、雪崩方式は雪だるま方式より通常¥20万-50万節約します。percentage-calculatorで異なる返済戦略の利息コストを比較できます。

怖い数字を一つ：毎月¥50,000を年利5%で30年投資すると、約¥4,161万になります。代わりに毎月¥50,000のクレジットカード最低支払いを年利18%で30年続けると、約¥1,000万の利息を支払います（残高はほとんど減りません。最低支払額のほとんどが利息をカバーするだけだからです）。借金の機会費用は利息だけではありません——稼げなかった投資リターンです。

インフレ：複利成長への隠れた税金

名目リターン5%でインフレ2%なら、実質リターンは約3%です（正確な式は(1.05/1.02) - 1 = 2.94%、単純に5-2=3%ではありません）。30年で¥100万は名目5%で¥4,321,942に成長します。しかし今日の購買力（2%インフレ調整後）では¥4,321,942 / (1.02)^30 = ¥2,385,520です。それでも2.4倍の実質リターンですが、名目の4.3倍が示唆するほどではありません。

72の法則はインフレにも使えます。2%のインフレで物価は36年で2倍になります。今日¥100のものが2062年には¥200になります。つまり投資は購買力を維持するために最低でもインフレを上回る必要があります。インフレ2%の中で年利0.1%の普通預金は、毎年1.9%の購買力を失っています——残高は増えているのに実質的にお金が縮んでいます。

歴史的文脈：日本のインフレは長期的に低水準でしたが、2022年以降は2-3%台に上昇しています。全世界株式インデックスは長期で年利5-7%程度の名目リターン（実質3-5%）が期待されます。日本国債は年利0.5-1%程度。預金は0.1%以下。長期的に、株式がインフレを意味のある幅で上回る唯一の資産クラスです。ただし「長期」は15年以上を意味します——5年間では株式がインフレに負けることもあります。

老後の計画：名目リターンではなく実質リターン（インフレ調整後）を使いましょう。今日の価値で年間¥300万が退職後に必要なら、30年後には名目で約¥543万/年が必要です（2%インフレの場合）。実質の数字で計画しましょう。currency-converterツールは異なる時期や経済における購買力について考えるのに役立ちます。

複利の前提が崩れるとき

計算式は一定のリターン率を前提としています。実際の投資はそうではありません。全世界株式は2019年に+28%、2022年に-18%、2023年に+22%でした。リターンの順序が重要です——50%の損失の後に50%の利益があっても元に戻りません（開始値の75%で終わります）。これは「ボラティリティドラッグ」と呼ばれ、実際の複利成長は算術平均リターンが示唆するより常に低くなります。

計算式は引き出しがないことを前提としています。現実には、いずれお金を使います——老後の引き出し、住宅購入、緊急事態。「4%ルール」（退職後にポートフォリオの4%を毎年引き出す）は、ほとんどの市場環境で30年間持続可能であることを示す過去のシミュレーションに基づいています。しかし保証ではありません——退職初期に悪いリターンの連続があると、予想より早くポートフォリオが枯渇する可能性があります。

計算式は税金がないことを前提としています。課税口座では、投資の成長に対してキャピタルゲイン税（日本では約20%）を支払います。これが実効リターンを下げます。つみたてNISA、iDeCo、新NISAなどの非課税口座は、税金のドラッグなしに複利を働かせます——これがこれらの口座を最大限活用することが最優先である理由です。税金の節約も複利で効きます。

計算式は手数料がないことを前提としています。投資信託の年間1%の信託報酬は大したことなさそうですが、30年で最終残高の約25%を消費します。¥100万を年利5%で30年 = ¥4,321,942。年利4%（1%手数料後）= ¥3,243,398。その1%の手数料で¥1,078,544を失いました。これがインデックスファンド（信託報酬0.1-0.2%）がほとんどのアクティブファンド（0.5-1.5%）を長期で上回る理由です。数学は容赦ありません。